Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique

Propriété

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_0\). La somme de ses \(n\) premiers termes consécutifs est :

\(\boxed{\sum_{i=0}^{n-1}u_i=u_0+u_1+u_2+…+u_{n-1}=n\times\dfrac{u_0+u_{n-1}}{2}}\)

Remarque

Attention aux indices dans cette formule : lorsqu'on cherche des \(n\) premiers termes consécutifs, on s'arrête bien à \(u_{n-1}\) car on commence à \(u_0\).
Par exemple, \(\sum_{i=0}^{4}u_i=5\times\dfrac{u_0+u_4}2\) est bien la somme des \(5\) premiers termes de la suite \((u_n)\).

Exemple

Considérons \((u_n)\) la suite arithmétique de raison \(3\) et de premier terme \(u_0=1\). On cherche à calculer la somme des \(21\) premiers termes consécutifs de cette suite, c'est-à-dire :
\(u_0+u_1+u_2+…+u_{20}\) (on s'arrête à \(20\) car on commence à \(u_0\)).
On va calculer cette somme en procédant par étape.

Étape 1 : Détermination de \(n\)
On doit calculer \(u_0+u_1+u_2+…+u_{20}\) connaissant la formule pour \(u_0+u_1+u_2+…+u_{n-1}\) donc, par identification, on a \(n-1=20\) et donc \(n=21\).

Étape 2 : Calcul du membre de droite
Puisque \(n-1=20\) et \(n=21\), le membre de droite de la propriété est :
\(n\times\dfrac{u_0+u_{n-1}}{2}=21\times\dfrac{u_0+u_{20}}{2}\).

Il reste donc à calculer \(u_0\) et \(u_{20}\).
On a déjà \(u_0=1\) et, pour \(u_{20}\), on utilise la propriété donnant le terme général :
\(u_n=u_0+r\times n = 1+3n\) . Cela donne, pour \(n=20\),  \(u_{20}=1+3\times20=1+60=61\).
Ainsi le membre de droite vaut :

\(21\times\dfrac{u_0+u_{20}}{2}=21\times\dfrac{1+61}{2}=21\times\dfrac{62}{2}=651\).

Étape 3 : Conclusion
La somme des \(21\) premiers termes de la suite \((u_n)\) est :
\(\sum_{i=0}^{20}u_i=u_0+u_1+u_2+…+u_{20}=651\).